Matemáticas para Psicotécnicos de Policía, Guardia Civil y Bomberos: guía sin calculadora

Esta guía de matemáticas para los psicotécnicos de Policía Nacional, Policía Local y Bomberos repasa, desde cero, las operaciones y conceptos que más se repiten en las pruebas de acceso. Recuerda: el examen se realiza sin calculadora, por lo que el objetivo es dominar la mecánica a mano y automatizar trucos de cálculo mental.

Si llevas años sin tocar las matemáticas, no te preocupes: está pensada para que puedas empezar por el principio y avanzar paso a paso. Cada apartado incluye la explicación, ejemplos resueltos, trucos y ejercicios con soluciones.

1. Lee la teoría y repite a mano cada ejemplo resuelto, sin mirar la solución.
2. Haz los ejercicios de cada apartado en un papel antes de abrir las soluciones.
3. Si fallas, no sigas: revisa el apartado y vuelve a intentarlo. Los fallos son información útil.
4. Practica un poco cada día (20-30 minutos) en lugar de muchas horas un solo día. La velocidad se gana con repetición.

Índice

1. Operaciones básicas
2. Números negativos
3. Prioridad de operaciones
4. Paréntesis, corchetes y llaves
5. Potencias y raíces
6. Divisibilidad, números primos y factorización
7. m.c.m. y m.c.d.
8. Fracciones
9. Números decimales
10. Porcentajes
11. Proporcionalidad y regla de tres
12. Ecuaciones de primer grado
13. Media aritmética y conversión de unidades
14. Resumen: errores más frecuentes

Para sumar números de varias cifras a mano, colócalos en columna alineando las unidades, decenas y centenas, operando de derecha a izquierda. Si en una columna la suma llega a 10 o más, escribes solo la cifra de las unidades y «te llevas» la otra cifra a la columna siguiente.

Ejemplo: 4.738 + 986

    1 1 1      ← llevadas
    4 7 3 8
 +    9 8 6
 ----------
    5 7 2 4

Unidades: 8 + 6 = 14 → escribo 4 y me llevo 1.

Decenas: 3 + 8 + 1 (llevada) = 12 → escribo 2 y me llevo 1.

Centenas: 7 + 9 + 1 = 17 → escribo 7 y me llevo 1.

Millares: 4 + 1 = 5. Resultado: 5.724.

Igual que la suma: en columna y de derecha a izquierda. Si la cifra de arriba es menor que la de abajo, «pides prestado» una unidad a la columna de la izquierda (que vale 10 en la columna actual) y a cambio esa columna de la izquierda pierde 1.

Ejemplo: 5.203 − 1.847

Unidades: 3 − 7 no se puede. Hay un 0 en las decenas, así que pido a las centenas: el 2 pasa a 1, el 0 pasa a 10 y presta 1 a las unidades (el 10 se queda en 9, y 3 pasa a 13). Ahora 13 − 7 = 6.

Decenas: 9 − 4 = 5.

Centenas: 1 − 8 no se puede. Pido a los millares: el 5 pasa a 4 y el 1 pasa a 11. Ahora 11 − 8 = 3.

Millares: 4 − 1 = 3. Resultado: 3.356.

Comprobación: la resta se verifica sumando: 3.356 + 1.847 = 5.203 ✔

Trucos de velocidad para sumar y restar:

• Redondea y ajusta: para 398 + 47, calcula 400 + 47 = 447, y réstale los 2 añadidos: 447 − 2 = 445.
• Agrupa lo que suma 10, 100…: 37 + 58 + 63 + 42 = (37 + 63) + (58 + 42) = 100 + 100 = 200.
• Resta redondeando: 503 − 297 = 503 − 300 + 3 = 206 (restas de más, así que devuelves 3).
• Restar de 1.000, 10.000…: cada cifra se resta de 9 y la última de 10. Así, 1.000 − 367 = 633 (9−3=6, 9−6=3, 10−7=3).

Multiplica el número superior por cada cifra del número inferior (empezando por las unidades), desplazando una posición a la izquierda en cada fila, y suma los resultados parciales. Para esto es imprescindible saberse las tablas de multiplicar del 1 al 10; si tienes dudas, repásalas antes de seguir.

Ejemplo sencillo: 23 × 14

23 × 14 = (23 × 10) + (23 × 4) = 230 + 92 = 322.

Ejemplo en columna: 347 × 26

    347
  ×  26
  -----
   2082   ← 347 × 6
  6940    ← 347 × 20 (una posición a la izquierda)
  -----
   9022

347 × 6: 7×6 = 42 (escribo 2, llevo 4); 4×6 = 24 + 4 = 28 (escribo 8, llevo 2); 3×6 = 18 + 2 = 20 → 2.082.

347 × 2 = 694, y como la cifra 2 es de las decenas, desplazamos: 6.940.

Suma: 2.082 + 6.940 = 9.022.

Trucos de velocidad para multiplicar:

• × 10, × 100, × 1.000: añade 1, 2 o 3 ceros. Con ceros al final: 1.200 × 30 → 12 × 3 = 36 y se añaden los 3 ceros → 36.000.
• × 5: multiplica por 10 y divide entre 2. 46 × 5 = 460 ÷ 2 = 230.
• × 25: multiplica por 100 y divide entre 4. 32 × 25 = 3.200 ÷ 4 = 800.
• × 4: dobla dos veces. 37 × 4 → 74 → 148.
• × 9: multiplica por 10 y resta el número. 36 × 9 = 360 − 36 = 324.
• × 11 (número de 2 cifras): separa las cifras y pon su suma en medio. 34 × 11 → 3 (3+4) 4 → 374. Si la suma pasa de 9, te llevas una: 78 × 11 → 7 (7+8=15) 8 → 858.

En la división (dividendo ÷ divisor = cociente), busca cuántas veces cabe el divisor en las primeras cifras del dividendo, resta y baja la siguiente cifra. Se repite hasta acabar las cifras.

Prueba de la división: dividendo = divisor × cociente + resto. Si no coincide, hay un error.

Ejemplo: 7.524 ÷ 12

1) Cojo las dos primeras cifras: 75. ¿Cuántas veces cabe 12 en 75? 6 veces (12×6 = 72). Resto: 75 − 72 = 3.

2) Bajo la siguiente cifra (2): queda 32. 12 cabe 2 veces (24). Resto: 32 − 24 = 8.

3) Bajo la última cifra (4): queda 84. 12 cabe 7 veces (84). Resto: 0.

Cociente: 627. Comprobación: 12 × 627 = 7.524 ✔

Ejemplo con decimales: 47 ÷ 4

47 ÷ 4 = 11 y sobran 3. Para seguir, pongo una coma en el cociente y añado un cero al resto: 30 ÷ 4 = 7 (28), sobran 2. Añado otro cero: 20 ÷ 4 = 5, sobra 0.

Resultado: 11,75

Trucos de velocidad para dividir:

• ÷ 10, ÷ 100: mueve la coma 1 o 2 lugares a la izquierda (o quita ceros).
• ÷ 5: multiplica por 2 y divide entre 10. 135 ÷ 5 = 270 ÷ 10 = 27.
• ÷ 25: multiplica por 4 y divide entre 100. 600 ÷ 25 = 2.400 ÷ 100 = 24.
• Simplifica antes de dividir: si divides dividendo y divisor entre el mismo número, el resultado no cambia. 3.600 ÷ 150 = 360 ÷ 15 = 24.

Ejercicios para practicar (apartado 1)

1. 2.846 + 1.397
2. 7.000 − 2.589
3. 596 + 78 (usa el truco de redondear)
4. 1.204 − 998
5. 58 × 7
6. 124 × 35
7. 48 × 25 (usa el truco)
8. 63 × 11 (usa el truco)
9. 9.846 ÷ 6
10. 345 ÷ 15
11. 1.250 ÷ 25 (usa el truco)
12. 83 ÷ 4 (con decimales)

Mismo signo: se suman los valores y se mantiene el signo.

(−5) + (−3) = −8

Distinto signo: se restan los valores (el mayor menos el menor) y se pone el signo del que tenga mayor valor.

(−5) + 3 = −2  |  5 + (−8) = −3

Restar un negativo equivale a sumar: «menos por menos, más».

7 − (−2) = 7 + 2 = 9  |  −4 − 6 = −10

Ejemplo con paréntesis precedido de un menos: 10 − (4 − 7)

Opción A: resuelvo el paréntesis: 4 − 7 = −3 → 10 − (−3) = 10 + 3 = 13.

Opción B: quito el paréntesis cambiando el signo de todo lo de dentro: 10 − 4 + 7 = 13.

Regla de los signos:

• (+) · (+) = (+)    (−) · (−) = (+)
• (+) · (−) = (−)    (−) · (+) = (−)

Es decir: signos iguales dan positivo, signos distintos dan negativo. La misma regla vale para la división.

(−6) × 7 = −42  |  (−4) × (−5) = 20  |  (−24) ÷ 6 = −4  |  (−18) ÷ (−3) = 6

Truco mental: piensa en dinero. Si tienes −5 € es que debes 5 €. Si a una deuda de 5 € le añades otra de 3 €, debes 8 € (−5 − 3 = −8). Si te perdonan una deuda de 2 €, es como si ganaras 2 € (restar un negativo suma).

Ejercicios para practicar (apartado 2)

1. −9 + 4
2. 6 − 15
3. (−7) × (−3)
4. −8 − (−5)
5. 12 − (7 − 10)
6. (−36) ÷ 4

Orden estricto de resolución:

1. Paréntesis, corchetes y llaves (de dentro hacia fuera)
2. Potencias y raíces
3. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)
4. Sumas y restas (de izquierda a derecha)

Dentro de un mismo nivel (por ejemplo, una multiplicación y una división seguidas), se avanza de izquierda a derecha, tal y como aparecen.

Ejemplo 1: 4 + 2 × 3 = 4 + 6 = 10 (la multiplicación se calcula antes que la suma).

Ejemplo 2: 18 − 6 ÷ 3 = 18 − 2 = 16.

Ejemplo 3: 20 − 4 × 3 + 2 = 20 − 12 + 2 = 10.

Ejemplo 4: 3 + 2² × 5 = 3 + 4 × 5 = 3 + 20 = 23 (primero la potencia, luego la multiplicación, al final la suma).

Ejemplo 5: 24 ÷ 4 × 3 = 6 × 3 = 18 (de izquierda a derecha).

Ejemplo 6: 8 − 2 − 3 = 6 − 3 = 3 (de izquierda a derecha).

Trampa de examen: operar en el orden en que aparecen los signos de izquierda a derecha sin aplicar la jerarquía. Es el fallo intencionado que suelen poner en las opciones múltiples.

Segunda trampa: en 24 ÷ 4 × 3, mucha gente calcula primero 4 × 3 = 12 y obtiene 24 ÷ 12 = 2 (incorrecto). Multiplicación y división tienen la misma prioridad, así que se hacen de izquierda a derecha: 24 ÷ 4 = 6 y luego 6 × 3 = 18.

Ejercicios para practicar (apartado 3)

1. 7 + 3 × 4 − 2
2. 30 ÷ 5 × 2 + 1
3. 5 × (8 − 3) + 2²
4. 100 − 4 × 5²
5. 2 + 6 ÷ 2 × 3 − 1

1º Paréntesis ( )  →  2º Corchetes [ ]  →  3º Llaves { }

Ejemplo: 2 × [3 + (5 − 2)]

Paso 1 (paréntesis) — (5 − 2) = 3

Paso 2 (corchete) — [3 + 3] = 6

Paso 3 (multiplicación) — 2 × 6 = 12

Ejemplo con tres niveles: 3 × {2 + [4 × (7 − 5)] − 1}

Paréntesis: (7 − 5) = 2 → 3 × {2 + [4 × 2] − 1}

Corchete: [4 × 2] = 8 → 3 × {2 + 8 − 1}

Llave: {2 + 8 − 1} = 9 → 3 × 9

Resultado: 27

Ejemplo con un signo menos delante: 50 − [12 + (3 × 4) − 5]

Dentro del paréntesis: 3 × 4 = 12 → 50 − [12 + 12 − 5]

Dentro del corchete: 12 + 12 − 5 = 19 → 50 − 19

Resultado: 31

Consejo: no intentes resolver todo de golpe. Reescribe la expresión en cada paso, con un solo cambio cada vez. Es más lento por escrito, pero mucho más seguro. Con la práctica irás saltándote pasos.

Ojo: un número pegado a un paréntesis, como 3(2 + 1), significa multiplicar: 3 × 3 = 9.

Ejercicios para practicar (apartado 4)

1. 4 × (6 + 3) − 10
2. 20 − (6 + 4) × 2
3. 2 × [15 − (4 + 3)] + 1
4. 60 ÷ {3 × [2 + (8 − 6)]}
5. 100 − 2 × [9 − (5 − 2) × 2]

Una potencia es una multiplicación repetida: aⁿ significa multiplicar a por sí mismo n veces. El número a es la base y n el exponente.

Ejemplos: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8  |  5² = 5 × 5 = 25  |  10⁴ = 10.000

Casos especiales: a¹ = a  |  a⁰ = 1 (cualquier número, salvo el 0, elevado a 0 vale 1).

Memoriza estas tablas (te ahorrarán mucho tiempo):

• Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 (del 1² al 15²).
• Cubos: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000 (del 1³ al 10³).
• Potencias de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024.

• Mismo base, multiplicación: se suman los exponentes. aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• Misma base, división: se restan los exponentes. aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes. (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ

Ejemplos:

2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128

5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25

(3²)² = 3⁴ = 81

Trampa con los signos: (−2)² = (−2) × (−2) = 4, pero −2² = −(2 × 2) = −4. Los paréntesis cambian el resultado: sin ellos, el exponente solo afecta al 2.

Regla rápida: una base negativa elevada a exponente par da positivo; elevada a exponente impar da negativo. (−2)³ = −8.

La raíz es la operación contraria a la potencia. La raíz cuadrada de un número es el número que, multiplicado por sí mismo, da ese número: √144 = 12 porque 12 × 12 = 144. La raíz cúbica ∛27 = 3 porque 3 × 3 × 3 = 27.

Si el número no es un cuadrado perfecto, estima entre qué dos valores está: √50 está entre 7 (porque 7² = 49) y 8 (porque 8² = 64), y es más cercana a 7. Aproximadamente 7,07.

Trucos para cuadrados:

• Números acabados en 5: multiplica la cifra de las decenas por la siguiente y añade 25 al final. 35²: 3 × 4 = 12 → 1.225. 75²: 7 × 8 = 56 → 5.625.
• Números cercanos a una decena: 52² = 50² + 2·50·2 + 2² = 2.500 + 200 + 4 = 2.704. 19² = 20² − 2·20 + 1 = 400 − 40 + 1 = 361.
• Pista: un cuadrado perfecto solo puede acabar en 0, 1, 4, 5, 6 o 9.

Ejercicios para practicar (apartado 5)

1. 2⁵ · 2²
2. 3² + 4²
3. √169
4. −3² + (−3)²
5. 45²
6. (√81 + √16) × 2
7. 10³ ÷ 10¹

Ejemplo: ¿Por qué números es divisible 2.376?

Por 2: acaba en 6 (par) ✔

Por 3: 2+3+7+6 = 18, múltiplo de 3 ✔ (y como es múltiplo de 9, también por 9 ✔)

Por 4: 76 ÷ 4 = 19 ✔

Por 8: 376 ÷ 8 = 47 ✔

Por 6: es divisible por 2 y por 3 ✔

Por 11: (2 + 7) − (3 + 6) = 9 − 9 = 0 ✔ (2.376 ÷ 11 = 216)

Por 5 y por 10: no, no acaba en 0 ni en 5.

Un número primo solo es divisible entre 1 y entre sí mismo. Los primos hasta el 50 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

• El 1 no es primo.
• El 2 es el único primo par.
• ¿Cómo saber si un número es primo? Pruébalo con los primos 2, 3, 5, 7, 11… hasta que el cuadrado del primo supere al número. Si ninguno lo divide, es primo. Ejemplo: 91 → no es par, no es múltiplo de 3 (9+1=10), no acaba en 5, pero 91 = 7 × 13, así que no es primo.

Consiste en escribir un número como multiplicación de números primos. Se divide el número entre el primo más pequeño posible, una y otra vez, hasta llegar a 1.

Ejemplo: descomponer 360

360 ÷ 2 = 180 → 180 ÷ 2 = 90 → 90 ÷ 2 = 45 (ya no es par) → 45 ÷ 3 = 15 → 15 ÷ 3 = 5 → 5 ÷ 5 = 1

360 = 2³ · 3² · 5

Ejemplo: descomponer 84 → 84 ÷ 2 = 42 → 42 ÷ 2 = 21 → 21 ÷ 3 = 7 → 7 ÷ 7 = 1

84 = 2² · 3 · 7

Ejercicios para practicar (apartado 6)

1. ¿Es 2.520 divisible entre 9?
2. ¿Es 4.215 divisible entre 3? ¿Y entre 5? ¿Y entre 15?
3. ¿Es primo el 143?
4. Descompón 180 en factores primos.
5. Descompón 252 en factores primos.

m.c.m.: el menor múltiplo común. Se descomponen los números en factores primos y se multiplican los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

m.c.d.: el mayor divisor común. Se multiplican solo los factores comunes, elevados al menor exponente.

Regla de verificación: el m.c.m. siempre será mayor o igual que el número más grande. El m.c.d. siempre será menor o igual que el número más pequeño.

Ejemplo: m.c.m. y m.c.d. de 12 y 18

12 = 2² · 3   |   18 = 2 · 3²

m.c.m.: todos los factores con el mayor exponente → 2² · 3² = 4 · 9 = 36

m.c.d.: solo los comunes con el menor exponente → 2 · 3 = 6

Verificación: 36 ≥ 18 ✔ y 6 ≤ 12 ✔

Ejemplo con tres números: 20, 30 y 45

20 = 2² · 5  |  30 = 2 · 3 · 5  |  45 = 3² · 5

m.c.m. = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180

m.c.d. = solo el 5 (es el único factor presente en los tres) = 5

Atajos útiles:

• m.c.m. rápido con números pequeños: escribe los múltiplos del mayor hasta que uno sea múltiplo del otro. m.c.m.(6, 8): 8, 16, 24 (24 ÷ 6 = 4 ✔).
• Para dos números: m.c.m. × m.c.d. = producto de los dos números. Con 12 y 18: 36 × 6 = 216 = 12 × 18 ✔.
• Números sin factores comunes (primos entre sí): el m.c.d. es 1 y el m.c.m. es su producto. m.c.m.(7, 9) = 63.

m.c.m. → cuando algo se repite cada cierto tiempo y se pregunta cuándo coinciden de nuevo, o cuándo se alcanza una cantidad a la vez.

m.c.d. → cuando hay que repartir o cortar en partes iguales lo más grandes posible, sin que sobre nada.

Problema (m.c.m.): dos autobuses salen juntos de una estación a las 8:00. Uno pasa cada 12 minutos y el otro cada 18. ¿A qué hora volverán a coincidir?

m.c.m.(12, 18) = 36 minutos → coinciden a las 8:36.

Problema (m.c.d.): hay 48 chicos y 60 chicas y se quieren formar grupos iguales, con el máximo número de personas por grupo, sin mezclar y sin que sobre nadie. ¿Cuántos grupos y de qué tamaño?

48 = 2⁴ · 3  |  60 = 2² · 3 · 5 → m.c.d. = 2² · 3 = 12.

Cada grupo tendrá 12 personas. Habrá 48 ÷ 12 = 4 grupos de chicos y 60 ÷ 12 = 5 grupos de chicas: 9 grupos en total.

Ejercicios para practicar (apartado 7)

1. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de 15 y 20.
2. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de 72 y 90.
3. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de 8, 12 y 18.
4. Tres luces parpadean: la A cada 6 segundos, la B cada 8 y la C cada 10. Si se encienden a la vez, ¿cada cuánto tiempo coinciden las tres?
5. Se quiere cortar una cuerda de 72 m y otra de 90 m en trozos iguales lo más largos posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto mide cada trozo y cuántos trozos salen en total?

• Propia: el numerador es menor que el denominador (3/4). Vale menos que 1.
• Impropia: el numerador es mayor que el denominador (7/4). Vale más que 1.
• Número mixto: parte entera + fracción propia (1 3/4 = 1 + 3/4).

De mixto a impropia: multiplica el entero por el denominador y suma el numerador.

2 3/5 = (2 × 5 + 3) / 5 = 13/5

De impropia a mixto: divide el numerador entre el denominador. El cociente es la parte entera y el resto es el nuevo numerador.

17/4 → 17 ÷ 4 = 4 y sobra 1 → 4 1/4

Ejemplo: 12/18 → dividimos ambos entre 6 → 2/3.

Otro ejemplo: 84/126. Si no ves el divisor grande, ve poco a poco: ÷2 → 42/63; ÷3 → 14/21; ÷7 → 2/3. (Con el m.c.d. = 42 se hace de un solo paso.)

Mismo denominador: es mayor la de mayor numerador (5/9 > 4/9).

Mismo numerador: es mayor la de menor denominador (3/4 > 3/5): cuantas menos partes, más grande es cada una.

Distinto numerador y denominador: multiplica en cruz. Para comparar 3/4 y 5/7: 3 × 7 = 21 y 5 × 4 = 20. Como 21 > 20, 3/4 > 5/7.

Igual denominador: 3/7 + 2/7 = 5/7

Distinto denominador: 1/4 + 5/6

m.c.m.(4, 6) = 12. 1/4 = 3/12 (× 3) y 5/6 = 10/12 (× 2).

3/12 + 10/12 = 13/12 = 1 1/12.

Resta: 7/8 − 1/6 → m.c.m. = 24 → 21/24 − 4/24 = 17/24

Números mixtos: 2 1/2 + 1 3/4 → pásalos a impropias: 5/2 + 7/4 = 10/4 + 7/4 = 17/4 = 4 1/4.

Error clásico: sumar los denominadores. 1/2 + 1/3 no es 2/5. Se pasa a común denominador: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Multiplicar: numerador × numerador y denominador × denominador.

Dividir: multiplica en cruz (o la primera fracción por la inversa de la segunda).

Multiplicación: 2/3 × 5/7 = 10/21.

Simplificando antes (más cómodo): 4/9 × 3/8 → el 4 y el 8 se simplifican entre 4 (1 y 2), y el 3 y el 9 entre 3 (1 y 3) → 1/3 × 1/2 = 1/6.

División: 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 × 7/2 = 21/10 = 2,1.

En cruz: 3/5 ÷ 2/7 → 3 × 7 = 21 (arriba) y 5 × 2 = 10 (abajo) → 21/10 ✔.

Para calcular la fracción de una cantidad, divide entre el denominador y multiplica por el numerador. La palabra «de» significa multiplicar.

Ejemplo: 3/5 de 200 → 200 ÷ 5 = 40 → 40 × 3 = 120.

Problema: una persona gasta 2/5 de su sueldo de 1.500 €. ¿Cuánto le queda?

Gasta: 1.500 ÷ 5 × 2 = 300 × 2 = 600 €. Le quedan 1.500 − 600 = 900 €. (Otra forma: le quedan 3/5 → 300 × 3 = 900.)

Problema encadenado: un depósito está lleno en sus 3/4 y se gasta 1/3 de lo que hay. ¿Qué fracción del depósito queda?

Se gasta 1/3 de 3/4 = 3/12 = 1/4 del depósito. Queda 3/4 − 1/4 = 2/4 = 1/2.

Ejercicios para practicar (apartado 8)

1. Simplifica 45/60.
2. 2/3 + 3/5
3. 5/6 − 3/8
4. 7/10 × 5/14
5. 3/4 ÷ 9/8
6. Calcula 3/8 de 640.
7. Ordena de menor a mayor: 2/3, 3/5, 5/8.
8. Pasa a fracción impropia 3 2/7 y a número mixto 23/6.

Se colocan una coma debajo de otra (alineando las cifras del mismo orden) y se opera como con enteros. Si faltan cifras, se rellenan con ceros.

Ejemplos: 12,5 + 3,48 → 12,50 + 3,48 = 15,98

10 − 4,37 → 10,00 − 4,37 = 5,63

Se multiplica ignorando las comas y al final se colocan en el resultado tantos decimales como tengan entre los dos factores.

2,5 × 1,2: 25 × 12 = 300. Hay 2 decimales (uno en cada factor) → 3,00 = 3.

0,3 × 0,04: 3 × 4 = 12. Hay 3 decimales (1 + 2) → 0,012.

Si el divisor tiene decimales, multiplica dividendo y divisor por 10, 100, 1.000… hasta que el divisor sea entero (el resultado no cambia). Luego divide con normalidad.

7,5 ÷ 0,25: multiplico ambos por 100 → 750 ÷ 25 = 30.

× 10, × 100…: la coma se mueve a la derecha. 3,47 × 100 = 347.

÷ 10, ÷ 100…: la coma se mueve a la izquierda. 52,3 ÷ 10 = 5,23.

Comparar: iguala el número de decimales con ceros y compara como enteros. 0,5 y 0,45 → 0,50 y 0,45 → 0,5 es mayor. (Trampa: tener más cifras no significa ser mayor.)

Redondear: mira la cifra siguiente a la que redondeas. Si es 5 o más, subes una unidad; si es menos de 5, la dejas igual. 3,847 a las centésimas → 3,85; a las décimas → 3,8.

Decimal a fracción: pon las cifras sobre 10, 100 o 1.000 y simplifica. 0,75 = 75/100 = 3/4. 0,125 = 125/1.000 = 1/8.

Ejercicios para practicar (apartado 9)

1. 4,7 + 2,35
2. 9,2 − 3,75
3. 1,5 × 0,4
4. 6 ÷ 0,5
5. 3,6 ÷ 0,12
6. Escribe 0,6 como fracción irreducible.
7. ¿Cuál es mayor, 0,7 o 0,65?

Cálculo mental rápido (regla del 10% y 1%):

• 10%: desplaza la coma un lugar a la izquierda (10% de 350 = 35).
• 5%: la mitad del 10% (5% de 350 = 17,5).
• 1%: desplaza la coma dos lugares (1% de 350 = 3,5).
• 15%: suma el 10% + el 5% (35 + 17,5 = 52,5).
• 50%, 25%, 75%: la mitad, la cuarta parte y tres cuartas partes.

Ejemplo: 35% de 240

Método rápido: 10% = 24 → 30% = 72; 5% = 12 → 35% = 72 + 12 = 84.

Método directo: 240 × 0,35 = 84 ✔.

Truco de intercambio: a% de b = b% de a. Calcular el 8% de 50 es lo mismo que el 50% de 8 = 4.

Aumento del x%: multiplica por (1 + x/100). Un aumento del 15% → × 1,15.

Descuento del x%: multiplica por (1 − x/100). Un descuento del 25% → × 0,75.

Aumento: un artículo cuesta 80 € y sube un 15%. Precio final: 80 × 1,15 = 92 €. (Rápido: 10% = 8, 5% = 4, subida = 12 → 80 + 12 = 92.)

Descuento: unas zapatillas de 120 € con un 25% de descuento: 120 × 0,75 = 90 €. (Rápido: 25% de 120 = 30 → 120 − 30 = 90.)

Con IVA (21%): un producto de 200 € más IVA: 200 × 1,21 = 242 €.

Divide la parte entre el total y multiplica por 100: (parte ÷ total) × 100.

Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 18 de 72? → 18/72 = 1/4 = 25%.

Variación porcentual: un precio pasa de 50 € a 65 €. Aumento = 15 € → 15/50 = 0,30 → 30% de subida (siempre se divide entre el valor inicial).

Ejemplo: el 15% de un número es 45. ¿Cuál es el número?

Reducción a la unidad: 15% → 45, así que 1% → 3, y el 100% → 300.

O bien: total = 45 ÷ 0,15 = 300.

Trampa 1 — porcentajes sucesivos: subir un 20% y luego bajar un 20% no te devuelve al inicio. Con 100 €: 100 → 120 → 96 €. Has perdido un 4%, porque el segundo 20% se calcula sobre un valor mayor.

Trampa 2 — quitar el IVA: si un producto cuesta 242 € con IVA del 21%, el precio sin IVA no es 242 × 0,79 = 191,18 €. Hay que dividir: 242 ÷ 1,21 = 200 €.

Ejercicios para practicar (apartado 10)

1. 20% de 350
2. 15% de 260
3. Una camiseta de 45 € tiene un 20% de descuento. ¿Cuánto cuesta?
4. Un sueldo de 1.800 € sube un 5%. ¿Cuál es el nuevo sueldo?
5. 42 es el 35% de un número. ¿Cuál es ese número?
6. ¿Qué porcentaje es 30 de 120?
7. Un precio de 200 € sube un 10% y después baja un 10%. ¿Cuál es el precio final?
8. Un producto cuesta 363 € con IVA (21%). ¿Cuánto costaba sin IVA?

Directa: si al aumentar una de las magnitudes, aumenta la otra (y viceversa).

• Kilos de fruta que compras y coste total: cuantos más kilos compras, más coste tendrá.
• Tiempo de conducción y distancia recorrida: cuanto más tiempo conduces, más distancia recorres.

Inversa: al aumentar una de las magnitudes, disminuye la otra (y viceversa).

• Número de obreros en una obra y tiempo que se tarda en terminarla: a más obreros, menos tiempo se tarda.
• Velocidad de un vehículo y tiempo que se tarda en llegar al destino: a mayor velocidad, menor tiempo de llegada.

Pregunta clave para decidir: «si una magnitud se duplica, ¿la otra se duplica (directa) o se reduce a la mitad (inversa)?». Hazte esta pregunta siempre antes de plantear el problema.

Ejemplo: 2 kilos de manzanas cuestan 4 €. ¿Cuánto costarán 3 kilos?

Ordenamos las magnitudes en dos columnas:

Opción A: 4/2 = X/3

Opción B: 2/4 = 3/X

En ambos casos: X = 3 · 4 / 2 = 6

Solución: 6 €

Método alternativo: reducción a la unidad (muy útil si has olvidado la regla de tres).

2 kilos cuestan 4 € → 1 kilo cuesta 4 ÷ 2 = 2 € → 3 kilos cuestan 3 × 2 = 6 €.

Se calcula primero cuánto vale una unidad y luego se multiplica por lo que piden.

Ejemplo: 2 obreros tardan en terminar una obra 3 días. ¿Cuánto tardarán 5 obreros?

Mismo procedimiento inicial: ordenamos las magnitudes en dos columnas.

En este caso se hace lo contrario que en la proporcionalidad directa: en vez de formar una fracción con cada fila, formamos una multiplicación cruzada entre filas.

2 · 3 = 5 · X

X = 2 · 3 / 5 = 1,2 días

Solución: 1,2 días

Método alternativo (inversa): en una proporcionalidad inversa el producto de las dos magnitudes es constante (es el «trabajo total»). 2 obreros · 3 días = 6 «días de obrero». Si hay 5 obreros: 5 · X = 6 → X = 1,2 días.

Comprobación: en directa, el cociente de las dos magnitudes es constante (4 € ÷ 2 kg = 6 € ÷ 3 kg = 2 €/kg); en inversa, el producto es constante.

Directa: un coche gasta 6 litros cada 100 km. ¿Cuántos litros gastará en 250 km?

100 km → 6 L; 250 km → X. X = 250 · 6 / 100 = 15 L. Solución: 15 litros.

Inversa: 6 grifos llenan un depósito en 4 horas. ¿Cuánto tardarán 8 grifos?

A más grifos, menos tiempo → inversa. 6 · 4 = 8 · X → X = 24 / 8 = 3 horas.

Inversa (velocidad): un coche a 90 km/h tarda 4 h en llegar. ¿Cuánto tardará a 120 km/h?

90 · 4 = 120 · X → X = 360 / 120 = 3 horas.

Cuando intervienen tres o más magnitudes, lo más fácil es calcular el «trabajo total» (multiplicando las magnitudes) y mantenerlo constante. Se plantea la misma cantidad total con los dos datos y se despeja la incógnita.

Ejemplo: 4 obreros trabajando 6 horas diarias terminan una obra en 10 días. ¿Cuántos días tardarán 6 obreros trabajando 5 horas diarias?

Trabajo total = 4 · 6 · 10 = 240 «horas de obrero».

Con el nuevo equipo: 6 · 5 · X = 240 → 30 · X = 240 → X = 8.

Solución: 8 días.

Ejercicios para practicar (apartado 11) — indica primero si es directa o inversa.

1. 12 botellas cuestan 18 €. ¿Cuánto cuestan 20 botellas?
2. 8 máquinas tardan 6 horas en producir un lote. ¿Cuánto tardarán 12 máquinas?
3. Un grifo vierte 15 litros en 3 minutos. ¿Cuántos litros vierte en 20 minutos?
4. 5 pintores pintan un edificio en 12 días. ¿Cuántos días tardarán 3 pintores?
5. Un viaje dura 2 h 30 min a 60 km/h. ¿Cuánto durará a 100 km/h?
6. 6 obreros trabajando 8 horas diarias tardan 12 días en una obra. ¿Cuántos días tardarán 8 obreros trabajando 9 horas diarias?

Pasos para resolver:

1. Quita paréntesis (multiplicando) y denominadores (multiplicando todo por el m.c.m.).
2. Pasa los términos con x a un lado y los números al otro.
3. Reduce (suma o resta los términos semejantes).
4. Despeja x dividiendo entre su coeficiente.
5. Comprueba sustituyendo el valor en la ecuación original.

Regla del «cambio de lado»: lo que está sumando pasa al otro lado restando (y al revés); lo que está multiplicando pasa dividiendo (y al revés).

Ejemplos básicos:

x + 7 = 12 → x = 12 − 7 = 5

3x = 21 → x = 21 ÷ 3 = 7

x/4 = 6 → x = 6 × 4 = 24

2x − 5 = 11 → 2x = 16 → x = 8

Incógnita en los dos lados: 5x + 3 = 2x + 15

Paso las x a la izquierda y los números a la derecha: 5x − 2x = 15 − 3

3x = 12 → x = 4. Comprobación: 5·4 + 3 = 23 y 2·4 + 15 = 23 ✔

Con paréntesis: 3(x − 2) = 2x + 1

Quito el paréntesis: 3x − 6 = 2x + 1 → 3x − 2x = 1 + 6 → x = 7

Comprobación: 3 · 5 = 15 y 2 · 7 + 1 = 15 ✔

Con fracciones: x/2 + x/3 = 10

m.c.m.(2, 3) = 6. Multiplico todo por 6: 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12

Comprobación: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10 ✔

Problema 1: pienso un número, lo multiplico por 3, le resto 4 y obtengo 20. ¿Qué número es?

3x − 4 = 20 → 3x = 24 → x = 8.

Problema 2: la suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuáles son?

x + (x + 1) + (x + 2) = 72 → 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23. Los números son 23, 24 y 25.

Traducir del lenguaje al álgebra: «el doble de un número» = 2x; «el triple» = 3x; «un número más 5» = x + 5; «la mitad» = x/2; «el siguiente número» = x + 1; «suman 48» = (…) + (…) = 48.

Ejercicios para practicar (apartado 12)

1. x − 9 = 14
2. 4x + 6 = 30
3. 7x − 3 = 3x + 13
4. 2(x + 4) = 3x − 1
5. x/5 + 3 = 8
6. Ana tiene el triple de edad que su hijo, y entre los dos suman 48 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

La media es la suma de todos los valores dividida entre cuántos valores hay: media = suma ÷ número de datos.

Ejemplo: notas 6, 7, 9 y 10 → (6 + 7 + 9 + 10) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8.

Dato que falta: un alumno tiene 6, 8 y 5 en tres exámenes. ¿Qué nota necesita en el cuarto para tener una media de 7?

Suma total necesaria: 7 × 4 = 28. Suma actual: 6 + 8 + 5 = 19. Le falta 28 − 19 = 9.

De horas y minutos a minutos: 2 h 45 min = 2 × 60 + 45 = 165 minutos.

De segundos a horas y minutos: 5.400 s ÷ 60 = 90 min = 1 h 30 min.

Sumar tiempos: 3 h 50 min + 2 h 25 min = 5 h 75 min = 5 h + 1 h 15 min = 6 h 15 min. (Los minutos que pasan de 60 se convierten en horas.)

Restar tiempos: 5 h 10 min − 2 h 45 min. Como 10 − 45 no se puede, «pido» 1 hora (60 min): 4 h 70 min − 2 h 45 min = 2 h 25 min.

Trampa muy frecuente: el tiempo no es decimal. 1,5 horas son 1 h 30 min (no 1 h 50 min), porque 0,5 h = media hora = 30 min. 0,25 h = 15 min; 0,75 h = 45 min. Para pasar decimales de hora a minutos, multiplica por 60: 0,4 h × 60 = 24 min.

El sistema métrico decimal avanza de 10 en 10: km → hm → dam → m → dm → cm → mm. Cada paso a la derecha multiplica por 10 y cada paso a la izquierda divide entre 10. Lo esencial:

• 1 km = 1.000 m  |  1 m = 100 cm  |  1 cm = 10 mm
• 1 kg = 1.000 g  |  1 tonelada = 1.000 kg
• 1 litro = 1.000 mililitros (ml)  |  1 litro = 100 centilitros (cl)

Ejemplos: 3,5 km = 3.500 m  |  250 cm = 2,5 m  |  0,75 kg = 750 g  |  2.400 ml = 2,4 L

Para pasar a una unidad más pequeña, multiplica; para pasar a una más grande, divide.

Ejercicios para practicar (apartado 13)

1. Pasa 3 h 20 min a minutos.
2. Pasa 4.500 segundos a horas y minutos.
3. 2 h 40 min + 1 h 35 min
4. 8 h 05 min − 3 h 50 min
5. ¿Cuántos minutos son 0,4 horas?
6. Pasa 7.250 m a km.
7. Calcula la media de 12, 15, 18, 20 y 10.
8. La media de cuatro números es 15. Tres de ellos son 10, 14 y 20. ¿Cuál es el cuarto?

• Ignorar la jerarquía: 4 + 2 × 3 es 10, no 18.
• Multiplicación y división: se hacen de izquierda a derecha, no «primero la multiplicación».
• Signos: restar un negativo suma; −2² = −4 pero (−2)² = 4.
• Fracciones: nunca se suman los denominadores; para sumar hay que reducir a común denominador.
• Decimales: alinear las comas al sumar y restar; 0,5 es mayor que 0,45.
• Porcentajes sucesivos: +20% y −20% no se anulan. Para quitar un IVA, se divide (÷ 1,21), no se resta el 21%.
• Regla de tres: decidir bien si es directa o inversa antes de plantear nada.
• Tiempo: 1,5 horas = 1 h 30 min, no 1 h 50 min.
• m.c.m. vs m.c.d.: «cuándo coinciden» → m.c.m.; «partes iguales lo más grandes posible» → m.c.d.
• No comprobar: una verificación de 10 segundos (sustituir, sumar para comprobar una resta, estimar el orden de magnitud) evita muchos fallos.

Plan de estudio sugerido

• Semana 1: apartados 1 a 4 (operaciones, negativos, jerarquía, paréntesis). Es la base de todo lo demás.
• Semana 2: apartados 5 a 7 (potencias, divisibilidad, m.c.m. y m.c.d.).
• Semana 3: apartados 8 a 10 (fracciones, decimales, porcentajes).
• Semana 4: apartados 11 a 13 (proporcionalidad, ecuaciones, media y unidades) y repaso de errores frecuentes.
• Cada día, dedica los primeros 5 minutos a repasar tablas de multiplicar, cuadrados y trucos de cálculo mental.

Practica con tests de matemáticas para psicotécnicos →