Contar números en un intervalo y múltiplos en un rango
Este tipo de ejercicio pide contar cuántos números enteros hay en un tramo, o cuántos de ellos cumplen una condición (ser múltiplos de un número). El truco está en fijarse bien en si los extremos del intervalo se incluyen o no, ya que es el detalle que cambia el resultado en 1 (o más, en el caso de los múltiplos).
1. Contar todos los números de un intervalo
Intervalo cerrado (ambos extremos incluidos)
Cantidad de números = (extremo mayor − extremo menor) + 1
Ejemplo: ¿cuántos números hay desde el 5 hasta el 201, ambos inclusive?
Cantidad = (201 − 5) + 1 = 196 + 1 = 197
Solución: 197 números
Intervalo abierto (ningún extremo incluido)
Cantidad de números = (extremo mayor − extremo menor) − 1
Ejemplo: ¿cuántos números hay entre el 10 y el 20, sin incluir estos?
Cantidad = (20 − 10) − 1 = 10 − 1 = 9 (del 11 al 19)
Solución: 9 números
Intervalo semiabierto (solo un extremo incluido)
Cantidad de números = extremo mayor − extremo menor (sin sumar ni restar nada más)
Ejemplo: ¿cuántos números hay desde el 10 (incluido) hasta el 20 (sin incluir)?
Cantidad = 20 − 10 = 10 (del 10 al 19)
Solución: 10 números
Regla mnemotécnica: cuenta siempre restando los extremos y luego suma tantos «+1» como extremos incluidos tengas (0, 1 o 2). Con los dos incluidos: +1. Con uno solo: +0. Con ninguno: −1 (equivalente a no sumar nada y quitar el propio extremo superior, que ya no cuenta).
2. Contar múltiplos de un número dentro de un intervalo
Múltiplos de un número «d» hasta un valor N
La cantidad de múltiplos de «d» que hay desde 1 hasta N (inclusive) se calcula dividiendo N entre d y quedándonos solo con la parte entera del cociente (descartando decimales, sin redondear).
Ejemplo: múltiplos de 7 que hay hasta el 300.
300 ÷ 7 = 42,86… → parte entera = 42
Solución: 42 múltiplos
Múltiplos de «d» dentro de un intervalo [a, b] inclusive
Cantidad = (múltiplos de d hasta b) − (múltiplos de d hasta a−1)
Cuentas cuántos múltiplos hay hasta el extremo superior, y le restas los que hay hasta justo antes del extremo inferior. Así te quedas solo con los que caen dentro del intervalo.
Ejemplo: ¿cuántos números divisibles por 7 hay desde el 23 hasta el 300, sin incluir estos?
Paso 1 — como no se incluyen los extremos, buscamos los múltiplos de 7 estrictamente entre 23 y 300, es decir, del 24 al 299.
Paso 2 — múltiplos de 7 hasta 299: 299 ÷ 7 = 42,71… → parte entera = 42
Paso 3 — múltiplos de 7 hasta 23 (para descartarlos): 23 ÷ 7 = 3,28… → parte entera = 3
Paso 4 — restamos: 42 − 3 = 39
Comprobación — el primer múltiplo de 7 mayor que 23 es 28 (7×4), y el último menor que 300 es 294 (7×42). Contando del 4.º al 42.º múltiplo de 7: 42 − 4 + 1 = 39. Coincide.
Solución: 39 números
Atención con «inclusive» vs. «sin incluir»: si el propio extremo es múltiplo de «d» y el intervalo lo incluye, cuenta. Si el propio extremo es múltiplo de «d» pero el intervalo lo excluye («sin incluir estos»), hay que descartarlo aunque sea múltiplo. Por eso, cuando el enunciado dice «sin incluir estos», lo más seguro es trabajar directamente con el intervalo reducido (extremo inferior +1, extremo superior −1) antes de aplicar la fórmula de los múltiplos.
Otro ejemplo (extremo que sí es múltiplo): ¿cuántos múltiplos de 5 hay entre el 10 y el 50, ambos inclusive?
Múltiplos de 5 hasta 50: 50 ÷ 5 = 10
Múltiplos de 5 hasta 9 (uno menos que el extremo inferior, 10): 9 ÷ 5 = 1,8 → parte entera = 1
Cantidad = 10 − 1 = 9
Solución: 9 números
3. Múltiplos comunes de dos números (m.c.m.)
Cuando piden múltiplos que cumplan dos condiciones a la vez (por ejemplo, «divisibles por 3 y por 4»), en realidad piden los múltiplos del mínimo común múltiplo de ambos números.
Ejemplo: ¿cuántos números divisibles por 3 y por 4 a la vez hay entre el 1 y el 100, ambos inclusive?
m.c.m. (3, 4) = 12
Múltiplos de 12 hasta 100: 100 ÷ 12 = 8,33… → parte entera = 8
Solución: 8 números (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96)
Resumen para el día del examen:
- Intervalo cerrado (ambos incluidos): (mayor − menor) + 1
- Intervalo abierto (ninguno incluido): (mayor − menor) − 1
- Un extremo incluido y otro no: (mayor − menor)
- Múltiplos de «d» hasta N: parte entera de N ÷ d
- Múltiplos de «d» en [a, b]: (múltiplos hasta b) − (múltiplos hasta a−1)
- Múltiplos comunes de dos números: usa el m.c.m. de ambos como si fuera un único divisor
- Si el enunciado dice «sin incluir estos», ajusta primero el intervalo antes de contar