Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Esta guía repasa cómo plantear y resolver ecuaciones de primer y segundo grado, y sistemas de ecuaciones, tal y como aparecen en las pruebas psicotécnicas (problemas redactados en texto, incógnitas representadas con símbolos, etc.). Recuerda: sin calculadora, así que interesa dominar el método más que hacer cuentas largas.
1. Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad en la que la incógnita (normalmente «x») aparece sin elevar a ninguna potencia. Su forma general es:
a·x + b = 0 → se despeja como x = −b / a
Cómo resolverla paso a paso
- Quitar paréntesis si los hay (aplicando la propiedad distributiva).
- Agrupar los términos con «x» en un lado del signo igual y los números en el otro, cambiando el signo de cada término que cambie de lado.
- Reducir términos semejantes (sumar/restar los números por un lado y las «x» por otro).
- Despejar «x» dividiendo ambos lados entre el coeficiente que la acompaña.
Ejemplo: 3x + 5 = 2x + 12
Paso 1 — pasamos 2x al lado izquierdo y 5 al derecho: 3x − 2x = 12 − 5
Paso 2 — reducimos: x = 7
Ejemplo con paréntesis: 2(x + 3) = 16
Paso 1 — quitamos el paréntesis: 2x + 6 = 16
Paso 2 — pasamos el 6 restando: 2x = 10
Paso 3 — despejamos: x = 5
Comprobación rápida: siempre puedes sustituir el valor de «x» obtenido en la ecuación original. Si ambos lados dan el mismo resultado, la solución es correcta. Es la forma más fiable de detectar un error de signo.
Ecuaciones planteadas a partir de un enunciado
Muchas preguntas del examen no dan la ecuación ya escrita, sino un texto que hay que traducir a lenguaje matemático. Identifica primero qué representa la incógnita y traduce cada frase a una operación.
Ejemplo: «El triple de un número, más 4, es igual a 19». → 3x + 4 = 19 → 3x = 15 → x = 5.
2. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) tiene la incógnita elevada al cuadrado. Su forma general es:
a·x² + b·x + c = 0 (con a ≠ 0)
Fórmula general
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / (2a)
Esta fórmula siempre funciona, aunque conviene identificar bien «a» (coeficiente de x²), «b» (coeficiente de x) y «c» (término independiente) antes de sustituir.
Ejemplo: x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)
Paso 1 — calculamos el discriminante: b² − 4ac = 25 − 24 = 1
Paso 2 — sustituimos: x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
Paso 3 — dos soluciones: x₁ = (5 + 1)/2 = 3 y x₂ = (5 − 1)/2 = 2
El discriminante (b² − 4ac)
| Valor del discriminante | Nº de soluciones |
|---|---|
| Mayor que 0 | Dos soluciones reales distintas |
| Igual a 0 | Una única solución (doble) |
| Menor que 0 | No tiene solución real |
Atajo para no perder tiempo: calcula primero el discriminante. Si es negativo, ya sabes que la ecuación no tiene solución real y puedes descartar directamente las opciones de respuesta que den un valor numérico.
Casos incompletos (más rápidos de resolver)
Sin término independiente (c = 0): a·x² + b·x = 0 → se saca «x» factor común: x·(ax + b) = 0. Las soluciones son x = 0 y x = −b/a.
Sin término en x (b = 0): a·x² + c = 0 → se despeja directamente: x² = −c/a → x = ±√(−c/a).
Ejemplo (sin término independiente): x² − 4x = 0 → x·(x − 4) = 0 → x = 0 ó x = 4.
Ejemplo (sin término en x): x² − 9 = 0 → x² = 9 → x = ±3.
3. Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos (o más) ecuaciones con las mismas incógnitas, que deben cumplirse a la vez. En el examen suelen aparecer con símbolos (●, ♦, ✳, △…) en vez de letras, pero se resuelven exactamente igual.
Método de sustitución
- Despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones.
- Sustituir esa expresión en la otra ecuación, que quedará con una sola incógnita.
- Resolver esa ecuación de primer grado.
- Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones para hallar la otra incógnita.
Ejemplo:
x + y = 10
x − y = 2
Paso 1 — despejamos x en la primera: x = 10 − y
Paso 2 — sustituimos en la segunda: (10 − y) − y = 2 → 10 − 2y = 2
Paso 3 — resolvemos: −2y = −8 → y = 4
Paso 4 — sustituimos: x = 10 − 4 = 6
Solución: x = 6, y = 4
Método de igualación
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las dos expresiones obtenidas, quedando una única ecuación con una incógnita.
Ejemplo: 2x + y = 8 / x + y = 5
Despejamos «y» en ambas: y = 8 − 2x y y = 5 − x
Igualamos: 8 − 2x = 5 − x → −x = −3 → x = 3
Sustituimos: y = 5 − 3 = 2
Solución: x = 3, y = 2
Método de reducción
Se multiplican una o ambas ecuaciones por números adecuados para que los coeficientes de una incógnita sean iguales (con signo opuesto), y al sumar las dos ecuaciones esa incógnita se elimina.
Ejemplo:
3x + 2y = 16
x − 2y = 0
Paso 1 — sumamos directamente las dos ecuaciones (el término «y» se cancela): 4x = 16
Paso 2 — despejamos: x = 4
Paso 3 — sustituimos en la segunda: 4 − 2y = 0 → y = 2
Solución: x = 4, y = 2
En preguntas tipo test con símbolos: sustituye los símbolos por letras mentalmente (●=a, ♦=b…) y aplica el mismo procedimiento. Elige siempre el método de reducción cuando veas que un mismo símbolo ya tiene coeficientes opuestos o fáciles de igualar: suele ser el más rápido a mano.
Resumen para el día del examen: en ecuaciones de primer grado, agrupa términos y comprueba sustituyendo. En las de segundo grado, calcula primero el discriminante para saber cuántas soluciones esperar, y busca siempre si es un caso incompleto (más rápido) antes de aplicar la fórmula general. En sistemas, elige el método según la forma de las ecuaciones: sustitución si una incógnita ya está despejada o es fácil de despejar, reducción si los coeficientes casan bien.