GUÍA DE ESTUDIO

Problemas de móviles: encuentro y velocidad media (MRU)

Los problemas de móviles son ejercicios de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): dos objetos (coches, trenes, personas, etc.) se desplazan a velocidad constante, sin aceleración. En esta guía verás dos grandes bloques: los problemas de encuentro (en qué momento y en qué punto coinciden, se cruzan o se separan una distancia determinada) y los de velocidad media (qué velocidad constante equivale a un recorrido hecho a distintas velocidades).

1. Fórmula base

La fórmula que sostiene todos los casos es siempre la misma:

espacio = velocidad × tiempo → e = v · t

De aquí se despeja lo que se necesite en cada caso:

v = e / t (velocidad) · t = e / v (tiempo)

Consejo clave para el examen (sin calculadora): antes de operar, comprueba si las cifras del enunciado permiten una división exacta. Si no te sale un número «redondo», revisa el planteamiento: seguramente hay un error de signo o de suma.

A continuación se explican los cuatro casos de encuentro de móviles (sección 2) y, después, el cálculo de la velocidad media (sección 4).

2. Los cuatro casos

Caso 1 — Dos móviles que parten de puntos distintos y se acercan

Situación: los dos móviles salen en el mismo instante, desde puntos distintos, y se mueven el uno hacia el otro (sentidos opuestos, acercándose).

Si la distancia inicial entre ambos es d, y sus velocidades son v₁ y v₂, cada segundo (o cada hora) la distancia que los separa se reduce en v₁ + v₂ (porque los dos «comen» distancia a la vez, uno hacia el otro). Por tanto, el tiempo que tardan en encontrarse es:

t = d / (v₁ + v₂)

Una vez calculado el tiempo, la distancia que ha recorrido cada uno se obtiene con e = v · t, y así se sabe en qué punto se produce el encuentro (a cuántos km de cada punto de partida).

Ejemplo: dos ciclistas parten al mismo tiempo de dos pueblos separados por 90 km, uno hacia el otro. El primero circula a 20 km/h y el segundo a 25 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse y a qué distancia del primer pueblo se cruzan?

Paso 1 — sumamos las velocidades: 20 + 25 = 45 km/h (es la velocidad a la que se acorta la distancia entre ellos).

Paso 2 — tiempo de encuentro: t = 90 / 45 = 2 horas.

Paso 3 — distancia recorrida por el primer ciclista: e₁ = 20 × 2 = 40 km del primer pueblo.

Comprobación — el segundo habrá recorrido 25 × 2 = 50 km, y 40 + 50 = 90 km, que es la distancia total. Cuadra.

Solución: se encuentran a las 2 horas, a 40 km del primer pueblo

Cómo detectarlo en el test: frases como «parten al mismo tiempo el uno hacia el otro», «salen a su encuentro» o «circulan en sentidos opuestos acercándose» → se suman las velocidades.

Caso 2 — Mismo punto de partida, uno sale más tarde y a mayor velocidad

Situación: los dos móviles parten del mismo punto y en el mismo sentido, pero no salen a la vez: el primero sale antes y, al cabo de un tiempo, sale el segundo, que va más rápido y tiene que alcanzarlo (alcance con ventaja de tiempo).

Primero se calcula la ventaja (distancia) que le saca el primer móvil al segundo en el tiempo que este último tarda en salir:

ventaja = v₁ × t₀

donde t₀ es el tiempo que el primero lleva circulando cuando el segundo arranca. A partir de ahí, cada hora (o minuto) el segundo móvil «recorta» v₂ − v₁ de esa ventaja. El tiempo que tarda en alcanzarlo (contado desde que sale el segundo) es:

t = ventaja / (v₂ − v₁)

Ejemplo: un coche sale de una ciudad a 60 km/h. 1 hora después, sale otro coche desde el mismo punto y en la misma dirección a 90 km/h. ¿Cuánto tarda el segundo coche en alcanzar al primero?

Paso 1 — ventaja del primer coche cuando arranca el segundo: 60 × 1 = 60 km.

Paso 2 — diferencia de velocidades: 90 − 60 = 30 km/h (lo que «recorta» el segundo cada hora).

Paso 3 — tiempo de alcance (desde que sale el segundo coche): t = 60 / 30 = 2 horas.

Comprobación — en esas 2 horas el segundo recorre 90 × 2 = 180 km; el primero, en 1 + 2 = 3 horas, recorre 60 × 3 = 180 km. Coinciden.

Solución: 2 horas

Cómo detectarlo en el test: frases como «sale con retraso», «al cabo de X horas sale otro desde el mismo lugar», «tiene que alcanzarlo» → primero calcula la ventaja, luego divide entre la diferencia de velocidades.

Ojo: si preguntan el tiempo desde que sale el primero (no desde que sale el segundo), hay que sumar t₀ al resultado.

Caso 3 — Mismo sentido pero desde puntos distintos

Situación: los dos móviles parten en el mismo instante, en el mismo sentido, pero desde puntos distintos (uno lleva ventaja de distancia, no de tiempo).

Si el móvil que va por delante lleva una ventaja inicial de d kilómetros, y el que va detrás es más rápido (v₂ > v₁), la distancia entre ambos se reduce en v₂ − v₁ cada unidad de tiempo. El tiempo de alcance es:

t = d / (v₂ − v₁)

Es el mismo tipo de cálculo que el Caso 2, pero aquí la ventaja ya viene dada en kilómetros directamente en el enunciado, en lugar de tener que calcularla a partir de un tiempo de salida.

Ejemplo: un tren sale de una estación a 80 km/h. En ese mismo instante, otro tren sale en el mismo sentido desde una estación situada 40 km por delante, circulando a 60 km/h. ¿Cuánto tarda el primer tren en alcanzar al segundo?

Paso 1 — ventaja inicial: 40 km (dato directo del enunciado).

Paso 2 — diferencia de velocidades: 80 − 60 = 20 km/h.

Paso 3 — tiempo de alcance: t = 40 / 20 = 2 horas.

Solución: 2 horas

Cómo detectarlo en el test: frases como «parten a la vez desde puntos separados por X km, en el mismo sentido» → se resta la velocidad del que va detrás menos la del que va delante, y se divide la distancia inicial entre esa diferencia. Solo hay alcance si el que va detrás es más rápido.

Caso 4 (adicional) — Mismo punto de partida y se alejan

Situación: los dos móviles salen a la vez, del mismo punto, pero en sentidos opuestos (se van alejando el uno del otro). Suele preguntarse cuánto tiempo tardan en estar separados una distancia determinada.

Como se alejan en direcciones opuestas, la distancia entre ellos crece cada hora en v₁ + v₂. Si se pregunta el tiempo necesario para alcanzar una separación d:

t = d / (v₁ + v₂)

Es la misma fórmula que el Caso 1, pero aplicada a alejamiento en vez de a encuentro: en ambos casos las velocidades se suman porque los dos móviles «trabajan a favor» del cambio de distancia.

Ejemplo: dos senderistas parten del mismo punto en direcciones opuestas. Uno camina a 5 km/h y el otro a 4 km/h. ¿Cuánto tardarán en estar separados 27 km?

Paso 1 — suma de velocidades: 5 + 4 = 9 km/h.

Paso 2 — tiempo: t = 27 / 9 = 3 horas.

Solución: 3 horas

Cómo detectarlo en el test: frases como «parten del mismo punto en sentidos contrarios», «se alejan», «¿cuándo estarán separados X km?» → se suman las velocidades, igual que en el encuentro, pero el resultado se interpreta como alejamiento, no como cruce.

3. Resumen de fórmulas

Caso	Situación	Fórmula del tiempo
1	Puntos distintos, se acercan	t = d / (v₁ + v₂)
2	Mismo punto, sale más tarde y más rápido	t = (v₁ · t₀) / (v₂ − v₁)
3	Puntos distintos, mismo sentido	t = d / (v₂ − v₁)
4	Mismo punto, se alejan	t = d / (v₁ + v₂)

Resumen para el día del examen:

¿Van el uno hacia el otro o el uno detrás del otro? Hacia el otro (se acercan o se alejan) → sumar velocidades. Uno detrás del otro (mismo sentido) → restar velocidades (rápido − lento).
¿Parten a la vez o con retraso? Si hay retraso, primero calcula la ventaja (distancia que le saca el primero cuando arranca el segundo) antes de aplicar la fórmula.
Comprueba siempre el resultado sustituyendo los tiempos en e = v · t: la suma de las distancias recorridas por cada móvil debe cuadrar con los datos del enunciado.

4. Velocidad media

La velocidad media de un recorrido es la velocidad constante a la que habría que ir para hacer ese mismo trayecto completo en el mismo tiempo total. Para calcularla, en todos los casos se usa la misma fórmula:

velocidad media = distancia total / tiempo total → v_m = e_total / t_total

Por tanto, el método es siempre el mismo, sea cual sea el enunciado:

Calcula la distancia total (suma de las distancias de todos los tramos).
Calcula el tiempo total (suma de los tiempos de todos los tramos, incluidas las paradas si las hay), usando t = e / v en cada tramo.
Divide: distancia total / tiempo total.

Error típico del examen: la velocidad media no es, en general, la media de las velocidades. Si vas a 60 km/h y vuelves a 40 km/h, la velocidad media no es 50 km/h. Solo coincide con la media aritmética cuando los tiempos empleados en cada tramo son iguales (Caso 2).

Caso 1 — Ida y vuelta con distinta velocidad (misma distancia)

Situación: se recorre una distancia d a una velocidad v₁ y se vuelve por el mismo camino a otra velocidad v₂.

Aplicando la fórmula base: la distancia total es 2d y el tiempo total es d/v₁ + d/v₂. Al simplificar (la d se cancela) queda un atajo muy útil, que no depende de la distancia:

v_m = 2 · v₁ · v₂ / (v₁ + v₂) (media armónica)

Si el enunciado da la distancia, lo más seguro es resolverlo con distancia total / tiempo total, como en el ejemplo.

Ejemplo: un coche va de una ciudad a otra, separadas 120 km, a 60 km/h, y vuelve por la misma carretera a 40 km/h. ¿Cuál es su velocidad media en el viaje de ida y vuelta?

Paso 1 — distancia total: 120 + 120 = 240 km.

Paso 2 — tiempo de ida: 120 / 60 = 2 h. Tiempo de vuelta: 120 / 40 = 3 h. Tiempo total: 2 + 3 = 5 h.

Paso 3 — velocidad media: 240 / 5 = 48 km/h.

Comprobación con el atajo: 2 · 60 · 40 / (60 + 40) = 4800 / 100 = 48 km/h. Coincide (y, como ves, no es 50).

Solución: 48 km/h

Cómo detectarlo en el test: frases como «va a… y vuelve a…», «ida y vuelta», «el mismo recorrido a la inversa» → la distancia de ida y de vuelta es la misma, pero los tiempos no. La velocidad media siempre queda más cerca de la velocidad menor, porque se pasa más tiempo yendo despacio.

Caso 2 — Mismo tiempo en cada tramo, distinta velocidad

Situación: se circula durante un tiempo t a una velocidad v₁ y durante ese mismo tiempo t a otra velocidad v₂.

La distancia total es v₁·t + v₂·t y el tiempo total es 2t. Al dividir, la t se cancela y queda la media aritmética de las velocidades:

v_m = (v₁ + v₂) / 2 (solo si los tiempos son iguales)

Ejemplo: un ciclista pedalea durante 3 horas a 50 km/h y, a continuación, otras 3 horas a 70 km/h. ¿Cuál es su velocidad media?

Paso 1 — distancia total: 50 × 3 + 70 × 3 = 150 + 210 = 360 km.

Paso 2 — tiempo total: 3 + 3 = 6 h.

Paso 3 — velocidad media: 360 / 6 = 60 km/h.

Comprobación con el atajo: (50 + 70) / 2 = 60 km/h. Coincide.

Solución: 60 km/h

Cómo detectarlo en el test: frases como «la mitad del tiempo a… y la otra mitad a…», «durante 2 horas a… y otras 2 horas a…» → el tiempo es igual en los dos tramos, así que la media aritmética es válida.

Caso 3 — Tramos de igual distancia con distintas velocidades (dos o más tramos)

Situación: el recorrido se divide en varios tramos de la misma longitud y cada uno se hace a una velocidad distinta («un tercio del camino a…, otro tercio a… y el último a…»).

Es la generalización del Caso 1: la distancia total es (número de tramos) × (longitud de un tramo) y el tiempo total es la suma de los tiempos de cada tramo. No se puede usar la media aritmética.

Ejemplo: un recorrido se divide en tres tramos de 60 km cada uno. El primero se hace a 20 km/h, el segundo a 30 km/h y el tercero a 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad media de todo el recorrido?

Paso 1 — distancia total: 3 × 60 = 180 km.

Paso 2 — tiempos: 60 / 20 = 3 h; 60 / 30 = 2 h; 60 / 60 = 1 h. Tiempo total: 3 + 2 + 1 = 6 h.

Paso 3 — velocidad media: 180 / 6 = 30 km/h.

Fíjate: la media aritmética de las velocidades sería (20 + 30 + 60) / 3 ≈ 36,7 km/h, que es incorrecta.

Solución: 30 km/h

Cómo detectarlo en el test: frases como «cada tramo mide lo mismo», «la primera mitad del recorrido a… y la segunda mitad a…», «un tercio del camino a…» → calcula cada tiempo con t = e / v, súmalos y divide la distancia total entre ese tiempo total.

Caso 4 — Tramos con distancias y velocidades distintas (y con paradas)

Situación: es el caso general: cada tramo tiene su propia distancia y su propia velocidad, y puede haber paradas intermedias.

No hay atajo: se aplica directamente distancia total / tiempo total. Recuerda que el tiempo de las paradas cuenta en el tiempo total (la velocidad media se calcula sobre el tiempo transcurrido, no solo sobre el tiempo en movimiento), salvo que el enunciado diga expresamente lo contrario.

Ejemplo: un autobús recorre 100 km a 50 km/h, hace una parada de 1 hora y luego recorre otros 80 km a 40 km/h. ¿Cuál es su velocidad media en todo el viaje?

Paso 1 — distancia total: 100 + 80 = 180 km.

Paso 2 — tiempos: 100 / 50 = 2 h; parada = 1 h; 80 / 40 = 2 h. Tiempo total: 2 + 1 + 2 = 5 h.

Paso 3 — velocidad media: 180 / 5 = 36 km/h.

Si no se contara la parada, saldría 180 / 4 = 45 km/h, que no es la velocidad media del viaje completo.

Solución: 36 km/h

Cómo detectarlo en el test: enunciados con varios tramos de datos distintos, o con palabras como «parada», «descanso» o «espera» → no busques atajos: tabla de tramos (distancia, velocidad, tiempo), suma de columnas y división.

Resumen de velocidad media

Caso	Situación	Cálculo
1	Ida y vuelta, misma distancia, distinta velocidad	2d / (d/v₁ + d/v₂) = 2·v₁·v₂ / (v₁ + v₂)
2	Mismo tiempo en cada tramo	(v₁ + v₂) / 2
3	Tramos de igual distancia, distintas velocidades	distancia total / suma de (e / v) de cada tramo
4	Caso general (con paradas)	distancia total / tiempo total (con paradas)

Resumen para el día del examen (velocidad media):

Ante la duda, usa siempre distancia total / tiempo total. Los atajos solo sirven en los casos 1 y 2.
¿Los tiempos de cada tramo son iguales? Entonces basta la media aritmética. ¿Las distancias son iguales? Entonces no: hay que calcular los tiempos.
Nunca promedies velocidades a ciegas. El tramo que se hace más despacio dura más y pesa más en el resultado.
Las paradas cuentan en el tiempo total.
Comprueba el resultado: la velocidad media siempre debe quedar entre la velocidad menor y la mayor del recorrido.

Ir a practicar con ejercicios →