Probabilidad y Combinatoria

En el psicotécnico policial la probabilidad suele aparecer en tres formatos: dados, cartas de baraja y problemas de conjuntos (colectivos con dos características, tipo «de 100 alumnos, el x% habla francés…»). La combinatoria aparece menos, pero conviene dominar lo básico porque a veces se combina con probabilidad. Esta guía cubre ambos bloques con el nivel justo para resolver a mano y sin calculadora.

P(suceso) = casos favorables / casos posibles

Ejemplo — un solo dado: probabilidad de sacar un número par.

Casos favorables: {2, 4, 6} → 3 casos

Casos posibles: 6

P = 3/6 = 1/2

Ejemplo — dos tiradas seguidas: probabilidad de sacar un 5 dos veces seguidas.

Cada tirada es un suceso independiente (una no afecta a la otra), así que se multiplican las probabilidades.

P(5 en la 1ª) × P(5 en la 2ª) = 1/6 × 1/6 = 1/36

P = 1/36

Palabra clave «y» → multiplicar; palabra clave «o» → sumar. Si el enunciado pide que pase A y B, multiplica sus probabilidades (si son independientes). Si pide que pase A o B (sin que se puedan dar a la vez), súmalas.

Ejemplo (baraja de póker, 52 cartas): probabilidad de que al sacar una carta al azar sea una figura (J, Q o K).

Casos favorables: 3 figuras × 4 palos = 12

Casos posibles: 52

P = 12/52 = 3/13

Ejemplo (sin reposición): probabilidad de sacar dos ases seguidos de una baraja de 52 cartas, sin devolver la primera carta.

1ª carta: P(as) = 4/52

2ª carta: como ya ha salido un as y quedan 51 cartas, P(as) = 3/51

P total = 4/52 × 3/51 = 12/2652 = 1/221

Con reposición vs. sin reposición: si la carta (o bola, o elemento) se devuelve antes de la siguiente extracción, las probabilidades no cambian entre tiradas (sucesos independientes). Si no se devuelve, hay que recalcular el número de casos posibles (y a veces favorables) restando lo ya extraído.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Es decir: se suman ambos porcentajes y se resta la parte que se ha contado dos veces (la intersección, los que cumplen las dos condiciones a la vez).

Ejemplo: «En una academia de 100 alumnos, el 65% habla francés, el 30% habla inglés, y el 12% habla ambos idiomas. ¿Qué probabilidad hay de elegir al azar un alumno que hable solo francés (y no inglés)?»

Paso 1 — francés e inglés a la vez: 12 alumnos

Paso 2 — habla francés en total: 65 alumnos → «solo francés» = 65 − 12 = 53 alumnos

Paso 3 — probabilidad: 53/100

P = 53/100 = 0,53

Ejemplo (ninguno de los dos): con los mismos datos, ¿qué probabilidad hay de elegir a alguien que no hable ni francés ni inglés?

P(francés o inglés) = 65 + 30 − 12 = 83

P(ninguno) = 100 − 83 = 17

P = 17/100 = 0,17

Truco visual: dibuja un diagrama de Venn mental (o en el papel de borrador): dos círculos que se solapan. Rellena primero la intersección, luego lo que sobra en cada círculo, y por fuera lo que no pertenece a ninguno. Visualizarlo así evita restar dos veces la intersección por error.

Si algo se hace en varios pasos, el número total de formas es el producto de las opciones de cada paso.

Ejemplo: tienes 3 camisetas (roja, azul, verde) y 2 pantalones (negro, gris). ¿Cuántos conjuntos distintos puedes formar?

Para la camiseta tienes 3 opciones. Y, elijas la que elijas, para el pantalón siempre tienes 2 opciones.

Con la roja puedes hacer 2 conjuntos, con la azul otros 2 y con la verde otros 2: 2 + 2 + 2 = 6, que es lo mismo que 3 × 2.

Total = 3 × 2 = 6 conjuntos

n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1  (y por convenio, 0! = 1)

Ejemplo: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Conviene saberse de memoria los primeros: 1! = 1 · 2! = 2 · 3! = 6 · 4! = 24 · 5! = 120 · 6! = 720

Cuentan de cuántas formas se pueden ordenar «n» elementos distintos, usándolos todos y donde el orden importa. Resultado: n!

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden colocar en fila 4 personas distintas?

Razonamiento: imagina que hay 4 sitios en la fila y los vas rellenando de izquierda a derecha.

• Para el 1.er sitio puede ir cualquiera de las 4 personas → 4 opciones.

• Para el 2.º sitio ya solo quedan 3 personas que se puedan escoger (una ya está colocada) → 3 opciones.

• Para el 3.er sitio quedan 2 personas → 2 opciones.

• Para el 4.º sitio solo queda 1 persona → 1 opción.

Como cada elección se combina con todas las anteriores, se multiplica: 4 × 3 × 2 × 1.

Con la fórmula: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 formas

Total = 24 formas

Comprobación con un caso pequeño: ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras A, B y C?

Razonamiento: 3 opciones para el primer sitio, 2 para el segundo y 1 para el tercero → 3 × 2 × 1 = 6.

Si las escribimos todas: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA → efectivamente son 6. Fíjate en que si empieza por A hay 2 ordenaciones, si empieza por B otras 2 y si empieza por C otras 2.

Ejemplo con condición: ¿De cuántas formas se pueden colocar en fila 4 personas si Ana tiene que ir siempre la primera?

Razonamiento: el primer sitio ya está decidido (Ana), así que solo hay 1 opción para él. Quedan 3 personas para 3 sitios: 3 opciones para el 2.º, 2 para el 3.º y 1 para el 4.º.

1 × 3 × 2 × 1 = 3! = 6 formas

Total = 6 formas

Truco para problemas con condiciones: rellena primero los huecos que tienen restricción (los que «están obligados») y después los demás. Así no te lías contando opciones que luego no valen.

V(n,k) = n! / (n−k)!

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden repartir el 1º y 2º premio entre 5 participantes (sin repetir premio en la misma persona)?

Razonamiento: solo hay 2 «huecos» que rellenar (el 1.er premio y el 2.º), no 5.

• Para el 1.er premio puede ser cualquiera de los 5 participantes → 5 opciones.

• Para el 2.º premio ya solo quedan 4 (el ganador del primero no puede repetir) → 4 opciones.

Se multiplica: 5 × 4 = 20.

Con la fórmula: V(5,2) = 5! / 3! = (5 × 4 × 3!) / 3! = 5 × 4 = 20 formas. El 3! de abajo «se come» los factores que no hemos usado (3 × 2 × 1), porque solo rellenamos 2 huecos y no los 5.

Total = 20 formas

Ejemplo: en una carrera participan 8 corredores. ¿De cuántas formas distintas puede quedar el podio (1.º, 2.º y 3.º)?

Razonamiento: 3 huecos (oro, plata, bronce). Para el oro hay 8 candidatos; para la plata quedan 7; para el bronce quedan 6.

8 × 7 × 6 = 56 × 6 = 336

Total = 336 formas

Regla rápida: en V(n,k) multiplicas k números, empezando en n y bajando de uno en uno.

Si se puede repetir (por ejemplo, un código PIN de 4 cifras): ¿cuántos códigos distintos hay?

Razonamiento: 4 huecos, y en cada uno se puede poner cualquiera de las 10 cifras (0-9), porque repetir está permitido. Ya no «se gasta» ninguna opción al avanzar.

10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 códigos

La diferencia con los ejemplos anteriores: antes, cada elemento elegido dejaba de estar disponible (por eso bajaba 5, 4, 3…). Si el enunciado permite repetir, el número de opciones se mantiene igual en cada hueco.

C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!)

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden elegir 2 personas de un grupo de 5 para formar una pareja (sin que importe quién va primero)?

Razonamiento:

• Paso 1 — si importara el orden, tendríamos 5 opciones para la primera persona y 4 para la segunda: 5 × 4 = 20 parejas ordenadas.

• Paso 2 — pero la pareja «Ana-Beto» es la misma que «Beto-Ana». Cada pareja real la hemos contado 2 veces (las 2 formas de ordenar a sus dos miembros, que es 2!).

• Paso 3 — para quedarnos con cada pareja una sola vez, dividimos entre 2: 20 / 2 = 10.

Con la fórmula: C(5,2) = 5! / (2! × 3!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 20 / 2 = 10 formas

Comprobación: llamemos a las personas A, B, C, D y E. Las parejas son: AB, AC, AD, AE (4) · BC, BD, BE (3) · CD, CE (2) · DE (1). Total: 4 + 3 + 2 + 1 = 10. ✔

Total = 10 formas

Ejemplo: de un grupo de 6 agentes hay que elegir a 3 para formar una patrulla. ¿Cuántas patrullas distintas se pueden formar?

• Si importara el orden: 6 × 5 × 4 = 120 formas de escoger a 3 (variaciones).

• Pero una patrulla formada por Ana, Beto y Carla es la misma la escojas en el orden que la escojas. Un mismo grupo de 3 se puede ordenar de 3! = 3 × 2 × 1 = 6 maneras, así que hemos contado cada patrulla 6 veces.

• Dividimos: 120 / 6 = 20.

Con la fórmula: C(6,3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 120 / 6 = 20

Total = 20 patrullas

Cómo calcular C(n,k) a mano: escribe arriba k números empezando en n y bajando de uno en uno (como en una variación) y abajo k! (k × … × 1). Simplifica antes de multiplicar. Ejemplo: C(6,3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) → el 6 de arriba se simplifica con el 3 × 2 de abajo → queda 5 × 4 = 20.

Atajo útil: elegir k elementos es lo mismo que elegir los (n−k) que se dejan fuera, así que C(n,k) = C(n, n−k).

Ejemplo: ¿de cuántas formas se pueden elegir 8 personas de un grupo de 10? Elegir a las 8 que entran es lo mismo que elegir a las 2 que se quedan fuera: C(10,2) = (10 × 9) / (2 × 1) = 45 formas. Mucho más fácil que calcular C(10,8).

¿Variación o combinación? — el error más común: pregúntate si importa el orden. Si «A luego B» es distinto de «B luego A» (por ejemplo, primer y segundo premio, o un código con posiciones), es variación. Si da igual el orden (elegir un grupo, una pareja, un comité), es combinación.

Ejemplo: en un grupo hay 3 hombres y 2 mujeres. Se eligen 2 personas al azar. ¿Qué probabilidad hay de que sean las dos mujeres?

Casos posibles: elegir 2 personas de 5 (el orden no importa) → C(5,2) = 10

Casos favorables: elegir 2 mujeres de las 2 que hay → solo 1 forma (C(2,2) = 1)

P = 1/10

Comprobación sin combinatoria: P(1.ª mujer) × P(2.ª mujer) = 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10. ✔ Salen los mismos resultados por ambos caminos.

P = 1/10

Ejemplo: con el mismo grupo, ¿qué probabilidad hay de que las 2 personas elegidas sean hombres?

Casos favorables: elegir 2 hombres de 3 → C(3,2) = (3 × 2) / (2 × 1) = 3 (son las parejas H1-H2, H1-H3 y H2-H3)

Casos posibles: C(5,2) = 10

P = 3/10

Resumen para el día del examen: Laplace: favorables / posibles. Palabra clave «Y» → multiplicar; «O» (excluyentes) → sumar. En extracciones, con reposición no cambian los casos posibles; sin reposición se recalculan. En conjuntos: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); dibuja el Venn mentalmente. En combinatoria: piensa en huecos y multiplica las opciones de cada uno (se va quitando una opción por hueco si no se puede repetir). ¿Importa el orden? Sí → variación (o permutación si se usan todos); No → combinación (variación ÷ k!).

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